Операции над множествами

Обозначение множеств и их элементов. Равенство множеств.

Подмножество ( включение ). Сумма ( объединение ) множеств.

Произведение ( пересечение ) множеств. Разность ( дополнение )

множеств. Симметричная разность множеств. Свойства

операций над множествами.

Множества обозначаются заглавными латинскими буквами, а их элементы – строчными. Запись  a R  означает, что элемент  а  принадлежит множеству R , то есть  а  является элементом множества R . В противном случае, когда  а  не принадлежит множеству  R , пишут  a R .  

Два множества А и В называются  равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества  А  является элементом множества  В  и наоборот, каждый элемент множества  В  является элементом множества  А .

Говорят, что множество А содержится в множестве В ( рис.1 ) или  множество А  является подмножеством множества  В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества  А одновременно является элементом множества  В . Эта зависимость между множествами называется  включением. Для любого множества  А имеют место включения:  А  и  А  А .

Сумма ( объединение ) множеств  А и В ( пишется  А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А , либо В. Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда либо  е А ,  либо  е В .  

Произведение ( пересечение ) множеств  А и В ( пишется  А В , рис.2 ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит и А , и В . Таким образом,  е А В  тогда и только тогда, когда   е А  и  е В .

Разность множеств А и В ( пишется  А – В , рис.3 ) есть множество элементов, которые принадлежат множеству А , но не принадлежат множеству В. Это множество называется также дополнением множества В относительно множества А.

Симметричная разность множеств А и В ( пишется  А \ В  ) есть множество:

А \ В  = ( А – В ) ( В – А ).

 Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы.  1. Множество детей является подмножеством всего населения.

                         2. Пересечением множества целых чисел с множеством поло-

                             жительных чисел является множество натуральных чисел.

 3. Объединением множества рациональных чисел с множест-

                             вом иррациональных чисел является множество действи-

                             тельных чисел.

                         4. Нуль является дополнением множества натуральных чисел

                             относительно множества неотрицательных целых чисел.