Приложения определённого интеграла в геометрии и механике

Объём тела вращения. Работа переменной силы.

Определённый интеграл имеет многочисленные приложения в математике, механике, физике, астрономии, технике и других областях человеческой деятельности. Мы рассмотрим здесь только два примера, иллюстрирующие возможности этого аппарата.

Объём тела вращения. Рассмотрим тело, полученное вращением вокруг оси OX  криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции  f ( x ), прямыми  x = a  и  x = b и осью  OX  ( рис.10 ).

Объём  V тела вращения будет равен:

Работа переменной силы. Рассмотрим движение материальной точки вдоль оси  OX под действием переменной силы  f , зависящей от положения точки  x на оси, т.e. силы, являющейся функцией  x. Тогда работа  A, необходимая

для перемещения материальной точки из позиции  x = a  в позицию  x = b  вычисляется по формуле:

П р и м е р .  Найти объём усечённого конуса, образованного вращением

                      прямой  y = x + 1  вокруг оси  OX   и ограниченной линиями

                       x = 0 и  x = 3 .

Р е ш е н и е .  В соответствии с вышеприведенной формулой имеем: