Первообразная. Неопределённый интеграл
Первообразная.
Неопределённый интеграл.
Постоянная интегрирования.
Первообразная. Непрерывная
функция F ( x )
называется первообразной для функции f (
x ) на промежутке X
, если для каждого
F’
(
x
) =
f
(
x
).
П р и м е р . Функция F (
x ) = x
3
является первообразной для
функции
f ( x ) = 3x
2
на интервале (
-
, +
) ,
так как
F’
(
x
) = ( x
3
)’ =
3x
2
= f
(
x
)
для всех
x
(
-
, +
)
.
Легко
проверить, что функция x
3
+ 13 имеет ту же
производную
3x
2,
поэтому x
3
+ 13 также является
первообразной для функции
3x
2
для всех
x
(
-
, +
)
. Ясно, что вместо 13 можно взять
любую постоянную.
Таким образом, задача
нахождения
первообразной имеет бесчисленное множество решений.
Этот факт нашёл отражение в определении неопределённого
интеграла.
Неопределённый интеграл
функции f
(
x
) на
промежутке X есть
множество всех её первообразных. Это записывается в виде:
где
C
–
любая
постоянная, называемая постоянной интегрирования.
Источник: http://www.bymath.net |