Выпуклость, вогнутость и точки
перегиба функции
Вторая производная. Выпуклая и
вогнутая функция.
Достаточное условие
вогнутости (
выпуклости
) функции.
Точка перегиба.
Вторая производная.
Если производная
f
'
(
x
) функции f
(
x
)
дифференцируема в точке (
x0
), то её производная называется
второй производной функции f
(
x
)
в
точке ( x0
), и обозначается f
''
(
x0
).
Функция
f
(
x
) называется
выпуклой
на интервале (
a,
b
), если её график на этом
интервале лежит ниже
касательной, проведенной к
кривой
y
= f
(
x
) в любой точке (
x0
, f
(
x0
) ), x0
(
a,
b
).
Функция
f
(
x
) называется вогнутой
на интервале (
a,
b
), если её график на этом
интервале лежит выше
касательной, проведенной к
кривой
y
= f
(
x
) в любой точке (
x0
, f
(
x0
) ), x0
(
a,
b
).
Достаточное условие вогнутости (
выпуклости
) функции.
Пусть
функция
f
(
x
)
дважды
дифференцируема
(
имеет
вторую
производную
)
на
интервале (
a,
b
), тогда:
если f
''
(
x
)
>
0 для любого
x
(
a,
b
),
то
функция
f
(
x
) является вогнутой на
интервале (
a,
b
);
если f
''
(
x
)
<
0 для любого
x
(
a,
b
),
то
функция
f
(
x
) является выпуклой на
интервале (
a,
b
)
.
Точка,
при
переходе через которую функция
меняет выпуклость на вогнутость
или наоборот, называется точкой
перегиба.
Отсюда следует,
что
если в точке
перегиба
x0
существует вторая производная
f
''
(
x0
), то
f
''
(
x0
) = 0.
П р и м е р
. |
Рассмотрим график функции
y
= x3
:
Эта функция является вогнутой при
x
>
0
и выпуклой при
x
<
0. В самом деле, y''
= 6x,
но 6x
> 0
при x
> 0
и
6x
< 0
при x
< 0, следовательно,
y''
> 0 при x
> 0 и
y''
<
0 при x
<
0,
откуда
следует,
что
функция
y
= x3
является вогнутой при
x
>
0
и выпуклой
при
x
<
0.
Тогда x
= 0
является точкой
перегиба
функции
y
= x3. |
Источник: http://www.bymath.net |