Пятница, 05.06.2020, 09:24
Приветствую Вас Гость | RSS

Школьник

Меню сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Анализ страниц сайта

Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Основы анализа

О с н о в ы а н а л и з а

Применение производной в исследовании функций

 

Непрерывность и дифференцируемость функции.

Достаточные признаки монотонности функции.

Теорема Дарбу. Интервалы монотонности.

Критические точки. Экстремум (минимум, максимум).

Необходимое условие экстремума.

Достаточные условия экстремума.

План исследования функции.

 

 

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Если функция  f ( x ) дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное неверно:  непрерывная функция может не иметь производной.  

С л е д с т в и е . Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

П р и м е р .

Функция  y = | x | ( рис.3 )  всюду непрерывна, но она не имеет производной при  x = 0 , так как в этой точке не существует касательной к графику этой функции. ( Подумайте, почему ? )

 

Достаточные признаки монотонности функции.

Если  f ’( x ) > 0  в каждой точке интервала ( a, b ), то функция  f ( x ) возрастает на этом интервале.

Если  f ’( x ) < 0  в каждой точке интервала ( a, b ) , то функция  f ( x ) убывает на этом интервале.

 

Теорема Дарбу. Точки, в которых производная функции равна 0  или не существует, делят область определения функции на интервалы, внутри которых производная сохраняет знак.

Используя эти интервалы, можно найти интервалы монотонности функций, что очень важно при их исследовании.


 

                                 

Следовательно, функция возрастает на интервалах ( - , 0 ) и ( 1, + ) и убывает на интервале ( 0, 1 ). Точка  x = 0 не входит в область определения функции, но по мере приближения  x  к  0 слагаемое  x - 2  неограниченно возрастает, поэтому функция также неограниченно возрастает. В точке  x = 1 значение функции равно 3. В соответствии с этим анализом мы можем построить график функции ( рис.4б ) .

Критические точки. Внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки очень важны при анализе функции и построении её графика, потому что только в этих точках функция может иметь экстремум ( минимум или максимум , рис.5а,б).

В точках x1 , x2 ( рис.5a ) и x3 ( рис.5b ) производная равна 0; в точках x1 , x2 ( рис.5б ) производная не существует. Но все они точки экстремума.



Источник: http://www.bymath.net
Категория: Основы анализа | Добавил: Kisa (09.03.2009)
Просмотров: 828 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа
Поиск
Облако тэгов

Copyright MyCorp © 2020
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz