Правило Лопиталя

Пусть при  x a  для  функций  f ( x ) и  g ( x ), дифференцируемых в некоторой окрестности точки  а , выполняются условия:

Эта теорема называется  правилом Лопиталя. Она позволяет вычислять пределы отношения функций, когда и числитель, и знаменатель cтремятся либо к нулю, либо к бесконечности. Правило Лопиталя, как говорят математики, позволяет избавляться от неопределённостей типа:  0 / 0  и   / .

При неопределённостях другого типа:   – ,   ×0 ,  0 ⁰ ,   ⁰,     нужно проделать предварительно ряд  тождественных  преобразований,  чтобы привести их  к  какой-то из двух  неопределённостей:  либо  0 / 0 ,  либо   / .  После этого можно применять правило Лопиталя. Покажем некоторые из возможных преобразований указанных неопределённостей.

1)	– : пусть   f ( x ) , g ( x )   , тогда данная неопределённость приводится к типу  0 / 0 следующим преобразованием:
2)	× 0 : пусть   f ( x ) ,  g ( x )  0 , тогда данная неопределённость приводится к типу  0 / 0  или   / с помощью преобразований:
3)	остальные неопределённости приводятся к первым двум с помощью логарифмического преобразования:

Если после применения правила Лопиталя неопределённость типа  0 / 0  или  /  осталась, нужно применить  его повторно. Многократное применение правила Лопиталя может привести к требуемому результату. Правило Лопиталя применимо и в случае, если  x .