Производная. Геометрический и механический смысл производной
Производная. Приращение аргумента. Приращение функции.
Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной.
Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.
Механический смысл производной. Средняя и мгновенная
скорость.
Ускорение.
Производная. Рассмотрим
некоторую функцию y = f
( x ) в двух точках x0
и x0
+
 :
f (
x0
) и f (
x0
+
).
Здесь
через
обозначено
некоторое
малое
изменение аргумента, называемое приращением аргумента;
соответственно разность
между двумя значениями функции:
f
(
x0
+
)
-
f
(
x0
)
называется приращением функции. Производной функции
y
=
f
( x
) в
точке x0
называется предел:
Если этот предел существует,
то
функция f
( x ) называется
дифференцируемой
в точке
x0
.
Производная функции
f
( x
)
обозначается так:
Геометрический смысл производной.
Рассмотрим график функции
y
=
f
(
x
):
Из
рис.1 видно, что для любых двух точек
A
и B
графика функции:
где 
- угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту
секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по
направлению к ней точку B, то
неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ
приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен
угловому коэффициенту касательной в точке
A.
Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой
коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и
состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной.
Выведем
уравнение касательной к графику функции в точке
A
(
x0
, f
( x0
)
). В
общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом
f
’( x0
) имеет
вид:
y = f ’( x0
) · x + b .
Чтобы
найти b,
воспользуемся тем, что касательная проходит через точку
A:
f ( x0
) = f ’( x0
) · x0
+ b ,
отсюда, b = f ( x0
) – f ’( x0
) · x0
, и подставляя это выражение вместо b,
мы
получим уравнение касательной:
y = f ( x0 ) + f ’( x0
) · ( x – x0
) .
Механический смысл производной.
Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль
координатной оси, причём закон движения задан: координата x
движущейся точки –
известная функция x
( t ) времени t.
В течение
интервала времени от t0
до t0
+
точка перемещается на расстояние:
x
(
t0
+
) -
x
(
t0
) =
,
а её средняя скорость равна:
va
=
/
.
При
0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая
называется мгновенной скоростью
v
(
t0
)
материальной точки в момент времени
t0
. Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v ( t0
) = x’ ( t0
) ,
т.e.
скорость – это производная координаты
по
времени.
В этом и
состоит
механический смысл
производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по
времени:
a
= v’
(
t
).
Источник: http://www.bymath.net | 