Пределы функций

Предел функции. Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины.

 Конечный предел. Бесконечный предел.

Понятие бесконечности.

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

, что из условия | x - a |

ледует  |  f ( x ) – L | < .

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a. Геометрически это значит, что для любого  > 0  можно найти такое число  , что если  x  находится в интервале ( a - , a + ), то значение функции лежит в интервале ( L - ,  L + ). Отметим, что в соответствии с этим определением аргумент функции лишь приближается  к  a , не принимая этого значения! Это следует учитывать при вычислении предела любой функции в точке её разрыва, где функция не существует.

П р и м е р .   Найти

Р е ш е н и е .  Подставляя  x = 3  в выражение  получим не имеющее смысла
                         выражение ( см. "О выражениях, не имеющих смысла” в разделе
                        "Степени и корни” в главе "Алгебра”). Поэтому мы решим по-другому:

                        Сокращение дроби в данном случае корректно, так как  x 3 ,
                        он лишь приближается к 3.  Теперь мы имеем:

                                                             

                         поскольку, если  x  стремится к  3, то  x + 3  стремится к  6 .

Некоторые замечательные пределы.

Бесконечно малая и бесконечно большая величины. Если предел некоторой переменной равен 0, то эта переменная называется бесконечно малой.

П р и м е р .  Функция  y  =    является бесконечно малой при  x,

                      cтремящемся к  4, так как  

Если абсолютное значение некоторой переменной неограниченно возрастает, то эта переменная называется бесконечно большой.

Бесконечно большая величина не имеет конечного предела, но она имеет так называемый бесконечный предел, что записывается как:

Символ   ( "бесконечность” ) не означает некоторого числа, он означает только, что дробь неограниченно возрастает при  x, стремящемся к 3. Следует отметить, что дробь может быть как положительной ( при x > 3 ), так и отрицательной ( при x < 3 ). Если бесконечно большая величина может быть только положительной при любых значениях  x, это отражается в записи. Например, при  x  0 функция  y = x^{- 2} бесконечно большая, но она положительна как при  x > 0, так и при  x < 0 ; это выражается так:

Наоборот, функция  y =  - x ^{- 2}  всегда отрицательна, поэтому  

В соответствии с этим, результат в нашем примере можно записать так: