Арифметическая и
геометрическая прогрессии
Числовая последовательность.
Арифметическая прогрессия.
Разность прогрессии.
Геометрическая прогрессия.
Знаменатель
прогрессии. Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия.
Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную.
Последовательности.
Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, … ,
n
– 1, n
, … .
Если заменить каждое число
n
в этом ряду некоторым
числом un
, следуя
некоторому закону, мы получим новый
ряд чисел:
u1
, u2
, u3
, …, u
n
-
1
, u n
, … ,
называемый числовой
последовательностью. Число
un
называется общим
членом
числовой последовательности.
П р и м
е р ы числовых последовательностей:
2, 4, 6, 8, 10, … , 2n, … ;
1, 4, 9, 16, 25, … , n²
, … ;
1, 1/2, 1/3,
1/4, 1/5, … , 1/n , … .
Арифметическая прогрессия.
Числовая
последовательность,
каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему, сложенному с постоянным для этой последовательности
числом d
, называется
арифметической
прогрессией. Число
d
называется разностью
прогрессии.
Любой член арифметической
прогрессии вычисляется по формуле:
an
= a1
+ d ( n – 1 ) .
Сумма
n
первых членов арифметической прогрессии
вычисляется как:
П р и м е р . Найти сумму первых ста
нечётных чисел.
Р е ш е н и е . Применим последнюю
формулу. Здесь a1
= 1, d
= 2 . Тогда
Геометрическая прогрессия.
Числовая
последовательность,
каждый член которой, начиная со
второго, равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой
последовательности число q
, называется
геометрической
прогрессией.
Число q
называется знаменателем
прогрессии. Любой член
геометрической прогрессии вычисляется
по формуле:
bn
= b1 q
n
-
1 .
Сумма n
первых членов геометрической прогрессии
вычисляется как:
Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия.
Это геометрическая
прогрессия, у которой |
q
| < 1 . Для неё определяется понятие суммы членов
бесконечно убывающей
геометрической прогрессии,
а именно: это число, к
которому неограниченно приближается
сумма n
первых членов рассматриваемой
прогрессии при неограниченном возрастании числа n.
Сумма
членов
бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
П р и м е р . Найти сумму членов
бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Р е ш е
н и е . Применим последнюю формулу. Здесь
b1
=
1,
q
= 1/2. Тогда:
Обращение периодической
десятичной дроби в обыкновенную.
Предположим, мы хотим обратить
периодическую десятичную дробь 0.(3) в
обыкновенную. Рассмотрим эту десятичную дробь в следующем виде:
Это
бесконечно
убывающая
геометрическая прогрессия,
первый
член которой
равен 3/10, а разность
q
= 1/10. В соответствии с выше приведенной формулой
эта сумма равна:
Таким
образом, 0.(3) = 1/3.
Источник: http://www.bymath.net |