Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы  i,  j и k,  связанные с координатными осями:  i – с осью Х,   j – с осью Y и  k – с осью Z. В соответствии с этим определением:

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0, 

| i | = | j | = | k | = 1.

Любой вектор  a  может быть выражен через эти векторы единственным образом:  a =  x i + y j + z k . Другая форма записи:  a = ( x, y, z ). Здесь x,  y,  z - координаты вектора  a  в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов   i,  j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть  a = ( x, y, z );  b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) =  xu + yv + zw.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

т.e. длина ( модуль )  векторного произведения векторов  a  и  b  равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина ( модуль ) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  a и b .

Свойства векторного произведения.

 I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам  a и b. 

    ( Докажите это, пожалуйста ! ) . 

II.  [ a , b ] = – [ b , a ] .      

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b , c ] =  [ a , c ] + [ b , c ] .      

V.  [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) .  

VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – a  ( b , c ) .

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

                                  ( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;