Мнимые и
комплексные числа
Мнимые числа. Мнимая
единица. Действительные
или
вещественные числа. Комплексные числа.
Рассмотрим неполное квадратное уравнение:
x 2 = a ,
где
а – известная величина. Решение этого уравнения можно записать как:
Здесь
возможны три случая:
| 1). |
Если
a
=
0 , то
x
=
0.
|
| 2). |
Если а – положительное
число, то его квадратный корень имеет два значения: одно положительное,
другое отрицательное; например, уравнение x
2
= 25 имеет два корня: 5 и – 5. Это
часто записывается как корень с двойным знаком:
|
| 3). |
Если а – отрицательное
число, то это уравнение не имеет решений среди
известных нам положительных
и отрицательных чисел, потому что вторая степень любого числа есть число
неотрицательное (
продумайте это!
). Но если мы хотим
получить решения уравнения x
2
= a
также и для отрицательных
значений а , мы вынуждены ввести числа нового типа – мнимые
числа.
Таким образом, мнимым называется число,
вторая степень которого
является числом отрицательным.
Согласно этому определению мнимых чисел мы можем определить
и
мнимую единицу:
|
Тогда для уравнения
x
2
= – 25
мы
получаем два мнимых корня:
Подставляя оба эти корня в наше
уравнение, получаем тождество. (Проверьте !). В отличие от мнимых чисел все
остальные числа (положительные и отрицательные, целые и дробные, рациональные и
иррациональные) называются действительными или
вещественными числами. Сумма действительного и мнимого числа называется
комплексным числом и обозначается:
a + b i ,
где
a,
b
– действительные числа, i
– мнимая единица.
Более подробно о комплексных числах
см. раздел «Комплексные числа».
П р и
м е р ы комплексных чисел:
3 + 4 i
, 7 – 13.6 i , 0 + 25 i = 25 i
, 2 +  i.
Источник: http://www.bymath.net | 