Иррациональные числа. Формула сложного радикала

Рациональные числа. Иррациональные числа.
Примеры иррациональных чисел.
Формула сложного радикала.

Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. "Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / n, где  m  и  n  – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: 

  - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно ,

  - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу

Примеры других иррациональных чисел:

Докажем, что  является иррациональным числом. Предположим противное:  - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать:  = m / n , отсюда: 2 = m² / n², или  m² = 2 n², то есть  m² делится на 2, следовательно,  m  делится на 2, откуда  m = 2 k, тогда  m² = 4 k² или 4 k² = 2 n², то есть n² = 2 k², то есть n² делится на 2, а значит,  n  делится на 2, следовательно,  m  и  n  имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа  (см. выше). Таким образом, доказано, что  является иррациональным числом.  

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующая формула сложного радикала:

(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.