Правило Крамера. Используя определители, можно переписать формулы (3):

Формулы (4) называются правилом Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

 П р и м е р .  Решить систему уравнений

                        используя правило Крамера.

Р е ш е н и е .  Здесь   a = 1,  b = 1,  c = 12,  d = 2,  e = –3,   f = 14 .

Исследование решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, показывает, что в зависимости от коэффициентов уравнений возможны три различных случая:

1)  коэффициенты при неизвестных не пропорциональны:   a : d ≠ b : e ,

в этом случае система линейных уравнений имеет единственное решение, получаемое по формулам (4);

2)  все коэффициенты уравнений пропорциональны:   a : d = b : e = c : f ,

в этом случае система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, так как здесь мы имеем фактически одно уравнение вместо двух.

П р и м е р .  В системе уравнений

                       и эта система уравнений имеет бесконечное множество решений. 

                       Разделив первое уравнение на 2, а второе – на 3, мы получим два

                       одинаковых уравнения:

                       т.е. фактически одно уравнение с двумя неизвестными, у которого

                       бесконечное множество решений.

3)  коэффициенты при неизвестных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: a: d = b: e ≠ c: f, 

в этом случае система линейных уравнений не имеет решений, так как мы имеем противоречивые уравнения.

П р и м е р .  В системе уравнений 

                      но отношение свободных членов  7 / 12  не равно 1 / 3.

                      Почему эта система не имеет решений? Ответ очень простой.

                      Разделив второе уравнение на 3, мы получим:

                      Уравнения этой системы противоречивы, потому что одно и то

                      же выражение  2x – 3y  не может быть одновременно равно и 7, и 4.