Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными.
Основные методы
решения: подстановка, сложение или вычитание.
Определители
второго порядка. Правило Крамера.
Исследование решений системы уравнений.
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
имеют вид:
где
a,
b,
c,
d,
e,
f
– заданные числа;
x,
y
– неизвестные. Числа
a,
b,
d,
e
– коэффициенты при неизвестных;
c,
f
– свободные члены. Решение этой системы уравнений может
быть найдено двумя основными методами.
Метод
подстановки.
1) Из одного
уравнения выражаем одно из неизвестных,
например
x,
через коэффициенты
и другое неизвестное
y:
x = ( c – by ) / a .
(2)
2) Подставляем во
второе уравнение вместо
x
:
d
(
c
–
by
) /
a
+
ey
=
f
.
3) Решая последнее
уравнение, находим y
:
y
= ( af – cd ) / ( ae – bd ).
4) Подставляем это
значение вместо y
в выражение (2) :
x
= (
ce
–
bf
) / (
ae
–
bd
) .
П р и м е р . Решить систему уравнений:
Из первого
уравнения выразим х через коэффициенты и
y
:
x
= ( 2y
+ 4 ) / 3 .
Подставляем это выражение во второе уравнение и находим
y
:
( 2y
+ 4 ) / 3 +
3y
= 5 , откуда
y
= 1
.
Теперь находим х, подставляя найденное значение вместо
y
в
выражение для х:
x
= ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда x
=
2 .
Сложение
или вычитание.
Этот метод состоит в
следующем.
1) Умножаем обе
части 1-го уравнения системы (1) на
(–
d
), а обе части
2-го уравнения на а
и складываем их:
Отсюда получаем:
y
= ( af
– cd
) / ( ae
– bd
).
2) Подставляем
найденное для y
значение в любое уравнение системы (1):
ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.
3) Находим другое
неизвестное: x
= ( ce
– bf
) / ( ae
– bd
).
П р и м е р . Решить систему уравнений:
методом сложения или
вычитания.
Умножаем
первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их:
отсюда
y = 1.
Подставляем это значение во
второе
уравнение
(а в
первое можно?):
3x
+ 9 = 15,
отсюда
x
=
2.
Определители второго порядка.
Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными имеют вид:
x = ( ce
– bf ) / ( ae – bd ) ,
(3)
y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .
Эти формулы легко
запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей
следующий символ:
,
который
будет обозначать выражение: ps
– qr .
Это выражение получается перекрёстным умножением чисел
p,
q,
r,
s
:
и последующим
вычитанием одного произведения из другого:
ps
– qr.
Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали,
идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак « – » -
для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому
нижнему.
Например,
Выражение 
называется определителем второго
порядка.
Источник: http://www.bymath.net | 