Деление многочлена на линейный двучлен

 Линейный двучлен. Теорема Безу.

Линейный двучлен есть многочлен первой степени:   a x + b. Если разделить многочлен, содержащий букву  x , на линейный двучлен  x – b, где  b – некоторое число (положительное или отрицательное), то остаток будет только многочленом нулевой степени (см. параграф "Деление многочленов”), т.е. некоторым числом  N , которое можно определить, не находя частного. Более точно, это число равно значению многочлена, получаемому при  x = b. Это свойство вытекает из теоремы Безу:   многочлен  a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m  делится на двучлен   x – b   с остатком  N = a₀ b^m + a₁ b^m-1 + a₂ b^m-2 + …+ b_m .

Д о к а з а т е л ь с т в о .  В соответствии с определением операции деления многочленов (см. параграф "Деление многочленов”) мы имеем:

a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m = ( x – b ) Q + N ,

где Q – некоторый многочлен, N – некоторое число.

Подставим  x = b , тогда слагаемое ( x – b ) Q  обращается в нуль, и мы получаем:

a₀ b^m + a₁ b^m-1 + a₂ b^m-2 + …+ a_m = N .

З а м е ч а н и е .  При  N = 0  число b является корнем уравнения: 

a₀ x^m + a₁ x^m-1 + a₂ x^m-2 + …+ a_m = 0 .

Теорема доказана.