О с н о в ы а н а л и з а - Основы анализа - Математика - Каталог статей - Сайт для школьников. Рефераты и учебные материалы.
Воскресенье, 04.12.2016, 02:51
Приветствую Вас Гость | RSS

Школьник

Меню сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Анализ страниц сайта

Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Основы анализа

О с н о в ы а н а л и з а

Определённый интеграл. Формула Ньютона Лейбница

 

Криволинейная трапеция. Определённый интеграл.

Пределы интегрирования. Подынтегральное

выражение. Формула Ньютона Лейбница.

 

 

Рассмотрим непрерывную функцию  y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ). Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a, b ] и прямыми  x = a  и  x = b, называется криволинейной трапецией. Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

 

Если  f  – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [ a, b ],  и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь  S  соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [ a, b ], т.e.

 

Рассмотрим  функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если  a < x b, то S ( x ) площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку  ( x , 0 ). Отметим, что если   x = a ,  то  S ( a ) = 0, а  S ( b ) = S  ( S площадь криволинейной трапеции). Можно доказать, что

                       

т.e. S ( x ) – первообразная для  f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех  x [ a, b ]  имеем:

 

S ( x ) = F ( x ) + C ,

 

где C – некоторая постоянная,  F – одна из первообразных функции  f .

Чтобы найти C , подставим  x = a :

 

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

 

отсюда, C = -F ( a ) и  S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна  S ( b ) , то подставляя  x = b , получим:

 

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).

 

П р и м е р .  Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  y = x2 и прямыми

                       y = 0,  x = 1,  x = 2  ( рис.9 ) .

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на  n  отрезков равной длины точками:

 

x0 = a <  x1 <  x2 <  x3 < …<  x n - 1 <  xn = b

 

и пусть  = ( ba ) / n = xk  - xk - 1 где   k = 1,  2, …,  n – 1,  n .

В каждом из отрезков [ xk- 1 , xk ] как на основании построим прямоугольник высотой  f ( xk - 1 ). Площадь этого прямоугольника равна:

             

Ввиду непрерывности функции  f ( x ) объединение построенных прямоугольников при большом  n ( т.e. при малом  ) "почти совпадает” с нашей криволинейной трапецией. Поэтому,  Sn S при больших значениях  n . Это значит, что Sn S  при  n . Этот предел называется интегралом функции  f ( x ) от  a  до  b  или  определённым интегралом :

Числа  a  и  b  называются пределами интегрированияf ( x ) dxподынтегральным выражением.

 

Итак, если  f ( x ) 0 на отрезке [ a, b ] , то площадь  S  соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

 

Формула Ньютона Лейбница.  Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции  f ( x ) на отрезке  [ a, b ] , то

 

Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница. Она справедлива для любой функции  f ( x ), непрерывной на отрезке  [ a, b ] .

Р е ш е н и е.   Используя таблицу интегралов элементарных функций

                         ( см. выше ), получим:

 

 



Источник: http://www.bymath.net
Категория: Основы анализа | Добавил: Kisa (09.03.2009)
Просмотров: 567 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа
Поиск
Облако тэгов

Copyright MyCorp © 2016
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz