Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Криволинейная трапеция. Определённый интеграл.

Пределы интегрирования. Подынтегральное

выражение. Формула Ньютона – Лейбница.

Рассмотрим непрерывную функцию  y = f ( x ), заданную на отрезке [ a, b ] и сохраняющую на этом отрезке свой знак ( рис.8 ). Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [ a, b ] и прямыми  x = a  и  x = b, называется криволинейной трапецией. Для вычисления площадей криволинейных трапеций используется следующая теорема:

Если  f  – непрерывная, неотрицательная функция на отрезке [ a, b ],  и F – её первообразная на этом отрезке, то площадь  S  соответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [ a, b ], т.e.

Рассмотрим  функцию S ( x ), заданную на отрезке [ a, b ]. Если  a < x b, то S ( x ) – площадь части криволинейной трапеции, лежащей слева от вертикальной прямой, проходящей через точку  ( x , 0 ). Отметим, что если   x = a ,  то  S ( a ) = 0, а  S ( b ) = S  ( S – площадь криволинейной трапеции). Можно доказать, что

                       

т.e. S ( x ) – первообразная для  f ( x ). Отсюда, согласно основному свойству первообразных, для всех  x [ a, b ]  имеем:

S ( x ) = F ( x ) + C ,

где C – некоторая постоянная,  F – одна из первообразных функции  f .

Чтобы найти C , подставим  x = a :

F ( a ) + C = S ( a ) = 0,

отсюда, C = -F ( a ) и  S ( x ) = F ( x ) - F ( a ). Так как площадь криволинейной трапеции равна  S ( b ) , то подставляя  x = b , получим:

S = S ( b ) = F ( b ) - F ( a ).

П р и м е р .  Найти площадь фигуры, ограниченной кривой  y = x² и прямыми

                       y = 0,  x = 1,  x = 2  ( рис.9 ) .

Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на  n  отрезков равной длины точками:

x₀ = a <  x₁ <  x₂ <  x₃ < …<  x _{n - 1} <  x_n = b

и пусть  = ( b – a ) / n = x_k  - x_{k - 1} ,  где   k = 1,  2, …,  n – 1,  n .

В каждом из отрезков [ x_{k- 1} , x_k ] как на основании построим прямоугольник высотой  f ( x_{k - 1} ). Площадь этого прямоугольника равна:

             

Ввиду непрерывности функции  f ( x ) объединение построенных прямоугольников при большом  n ( т.e. при малом  ) "почти совпадает” с нашей криволинейной трапецией. Поэтому,  S_n S при больших значениях  n . Это значит, что S_n S  при  n . Этот предел называется интегралом функции  f ( x ) от  a  до  b  или  определённым интегралом :

Числа  a  и  b  называются пределами интегрирования,  f ( x ) dx – подынтегральным выражением.

Итак, если  f ( x ) 0 на отрезке [ a, b ] , то площадь  S  соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона – Лейбница.  Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F ( x ) - первообразная функции  f ( x ) на отрезке  [ a, b ] , то

Это и есть знаменитая формула Ньютона – Лейбница. Она справедлива для любой функции  f ( x ), непрерывной на отрезке  [ a, b ] .

Р е ш е н и е.   Используя таблицу интегралов элементарных функций

                         ( см. выше ), получим: