Методы интегрирования

  Интегрирование по частям.

  Интегрирование подстановкой ( замена переменной ).

Интегрирование по частям. Если функции  u ( x )  и  v ( x ) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v ( x ) du ( x ), то существует и интеграл u ( x ) dv ( x ) и имеет место равенство:

u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) • v ( x ) – v ( x ) du ( x )

или в более короткой форме:

u dv = u v – v du .

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями ( проверьте ! ).

П р и м е р .	Найти интеграл: ln x dx .
Р е ш е н и е.	Предположим  u = ln x и  dv = dx , тогда  du = dx / x и  v = x . Используя формулу интегрирования по частям, получим: ln x dx = x ln x – x dx / x = x ln x – x + C .

Интегрирование подстановкой ( замена переменной ). Если функция  f ( z ) определена и имеет первообразную при  z Z , а функция  z = g ( x ) имеет непрерывную производную при  x X  и её область значений  g ( X ) Z , то функция  F ( x ) =  f  [ g ( x )] × g' ( x ) имеет первообразную на  Х  и

F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz .

П р и м е р .	Найти интеграл: .
Р е ш е н и е.	Чтобы избавиться от квадратного корня, положим  ,  тогда  x = u2 + 3  и, следовательно,  dx = 2u du. Делая подстановку, имеем: