Необходимое условие экстремума. Если x₀ - точка экстремума функции f ( x )  и производная  f’  существует в этой точке, то  f’ ( x₀ ) = 0.

Эта теорема - необходимое условие экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна 0, то это не значит, что функция имеет экстремум в этой точке. Например, производная функции  f ( x ) = x ³ равна 0 при  x = 0, но эта функция не имеет экстремум в этой точке ( рис.6 ).

С другой стороны, функция  y = | x | , представленная на рис.3, имеет минимум в точке  x = 0 , но в этой точке производной не существует.

Достаточные условия экстремума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с плюса на минус, то  x₀  - точка максимума.

Если производная при переходе через точку  x₀  меняет свой знак с минуса на плюс, то  x₀  - точка минимума.

План исследования функции. Для построения графика функции нужно:

    1)  найти область определения и область значений функции,

    2)  установить, является ли функция чётной или нечётной,

    3)  определить, является ли функция периодической или нет,

    4)  найти нули функции и её значения при  x = 0,

    5)  найти интервалы знакопостоянства,

    6)  найти интервалы монотонности,

    7)  найти точки экстремума и значения функции в этих точках,

    8)  проанализировать поведение функции вблизи  "особых” точек

         и при больших значениях модуля  x .

П р и м е р . Исследуйте функцию  f ( x ) = x ³ + 2x ² - x - 2 и постройте график.

Р е ш е н и е . Исследуем функцию по вышеприведенной схеме.

                       1)  область определения x R ( x – любое действительное число);

                            область значений  y R, так как  f ( x ) – многочлен нечётной

                            степени;

                       2)  функция  f ( x ) не является ни чётной, ни нечётной

                            ( поясните, пожалуйста );

                       3)   f ( x ) – непериодическая функция ( докажите это сами );

                       4)  график функции пересекается с осью Y  в точке ( 0, – 2 ),

                             так как  f ( 0 ) = - 2 ;  чтобы найти нули функции нужно 

                             решить уравнение:  x ³ + 2x ² - x - 2  = 0, один из корней

                             которого ( x = 1 ) очевиден. Другие корни находятся

                             ( если они есть! ) из решения квадратного уравнения:

                             x ² + 3x + 2 = 0, которое получено делением многочлена

                             x ³ + 2x ² - x - 2  на двучлен ( x – 1 ). Легко проверить,

                             что два других корня: x₂ = -2 и  x₃  = -1. Таким образом,

                             нулями функции являются:  -2, -1 и 1.

                        5)  Это значит, что числовая ось делится этими корнями на

                             четыре интервала знакопостоянства, внутри которых

                             функция сохраняет свой знак :

                             Этот результат может быть получен разложением

                             многочлена на множители:

                                          x ³ + 2x ² - x - 2 = ( x + 2 ) ( x + 1 ( x – 1 )

                             и оценкой знака произведения  методом интервалов 

                             ( см. раздел «Неравенства» в главе «Алгебра» ).

                        6)  Производная  f’ ( x ) = 3x² + 4x -1 не имеет точек, в которых

                             она не существует, поэтому её область определения R ( все

                             действительные числа ); нули  f’ ( x ) – это корни уравнения:    

                             3x² + 4x - 1 = 0 .

                               Полученные результаты сведены в таблицу: