О с н о в ы а н а л и з а - Основы анализа - Математика - Каталог статей - Сайт для школьников. Рефераты и учебные материалы.
Среда, 07.12.2016, 13:34
Приветствую Вас Гость | RSS

Школьник

Меню сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Анализ страниц сайта

Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Основы анализа

О с н о в ы а н а л и з а

Производная. Геометрический и механический смысл производной

 

Производная. Приращение аргумента. Приращение функции.

Дифференцируемая функция. Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной. Уравнение касательной.

Механический смысл производной. Средняя и мгновенная скорость.

Ускорение.

 

 

Производная. Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x0  и  x0 + f ( x0 ) и  f ( x0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x0 + ) - f ( x0 ) называется приращением функции. Производной функции  y = f ( x ) в точке  x0  называется предел:


Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x
0 . Производная функции   f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):


Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  


где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0f ( x0  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x0 )  имеет вид:

y = f ’( x0 ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

отсюдаbf ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x0 ) +  f ’( x0 ) · ( x – x0  ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 +   точка перемещается на расстояние:  x ( t0 + ) - x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:  va = / . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени a = v ( t ).



Источник: http://www.bymath.net
Категория: Основы анализа | Добавил: Kisa (09.03.2009)
Просмотров: 507 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа
Поиск
Облако тэгов

Copyright MyCorp © 2016
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz