Пределы числовых последовательностей
Числовые последовательности. Формула общего члена.
Предел числовой последовательности. Сходящаяся и
расходящаяся последовательности. Ограниченная
последовательность. Монотонная последовательность.
Теорема Вейерштрасса. Основные свойства пределов.
Некоторые замечательные пределы.
Последовательности.
Рассмотрим ряд натуральных чисел:
1, 2, 3, … , n –1, n,
… .
Если заменить каждое натуральное число n
в этом ряду некоторым числом un
, следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд
чисел:
u1
, u2
, u3
, …, un
- 1
, un , …,
кратко обозначаемый { un }
и называемый числовой последовательностью. Величина
un называется общим членом
последовательности.
Обычно числовая последовательность
задаётся некоторой формулой
un = f (
n ),
позволяющей
найти любой член последовательности по его номеру
n ; эта формула
называется формулой общего
члена. Заметим,
что задать
числовую
последовательность
формулой общего члена не всегда возможно; иногда
последовательность задаётся путём описания её членов (см. ниже последний
пример).
П р и м е р ы числовых последовательностей:
1, 2, 3, 4, 5, …
- ряд натуральных чисел
;
2, 4, 6, 8, 10, …
- ряд чётных чисел;
1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, …
- числовая
последовательность
приближённых значений
с
увеличивающейся точностью.
В последнем примере невозможно дать формулу общего члена
последовательности, тем не менее эта последовательность писана
полностью.
Предел
числовой последовательности. Рассмотрим числовую
последовательность,
общий
член которой
приближается к
некоторому числу
a
при
увеличении порядкового номера n.
В этом случае говорят,
что
числовая последовательность имеет
предел.
Это
понятие
имеет
более
строгое
определение.
Это определение означает, что a
есть предел числовой последовательности, если её общий член неограниченно
приближается к a при возрастании n.
Геометрически это значит, что для любого
> 0
можно найти такое число N, что
начиная с n > N все
члены последовательности расположены внутри интервала ( a
-
, a
+
). Последовательность, имеющая предел, называется
сходящейся; в противном случае – расходящейся.
Последовательность называется ограниченной, если существует такое число
M,
что | un
|
M для
всех n
.
Возрастающая или убывающая последовательность называется монотонной.
Теорема Вейерштрасса.
Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет
предел (эта теорема даётся в средней школе без
доказательства).
Основные свойства пределов.
Нижеприведенные свойства пределов справедливы не только для
числовых последовательностей, но и для функций.
Если
{ un
} и {
vn
}
-
две сходящиеся последовательности, то:
Если
члены
последовательностей
{
un
}, {
vn
},
{
wn
}
удовлетворяют неравенствам
Некоторые замечательные пределы.
Источник: http://www.bymath.net |