Графическое решение неравенств
Приближённое решение неравенств.
Графическое решение неравенств с
одним неизвестным.
Графическое решение систем
неравенств с двумя неизвестными.
Пересечение решений.
Графическое представление функций
позволяет приближённо решать
неравенства
с
одним неизвестным и системы
неравенств с
одним и
двумя неизвестными. Чтобы
решить графически неравенство с одним неизвестным,
необходимо перенести все его члены в
одну часть, т.e.
привести к виду:
f
(
x
) > 0 ,
и
построить график функции
y
= f
(
x
).
После этого,
используя построенный график, можно найти нули функции (см. выше),
которые разделят ось
Х
на несколько
интервалов.
Теперь
на
основе
этого
определим
интервалы
x,
внутри которых знак функции соответствует знаку неравенства. Например,
нули нашей функции:
a
и
b
(
рис.30
).
Тогда из графика
очевидно,
что
интервалы,
внутри
которых
f
(
x
) > 0:
x
< a
и
x
>
b
(
они выделены
жирными
стрелками
). Ясно,
что знак
>
здесь условный; вместо него может быть любой другой: < ,  ,  .
Чтобы
решить графически систему неравенств
с
одним неизвестным, нужно перенести в каждом из них все члены в одну часть,
т.e.
привести неравенства к виду:
и построить графики функций
y
= f
(
x
),
y
= g
(
x
) , ... ,
y
= h
(
x
). Каждое
из этих неравенств решается графическим методом, описанным выше. После этого
нужно
найти пересечение решений всех неравенств, т.e.
их
общую
часть.
П р и
м е р . Решить графически систему неравенств:
Р е ш е н и е . Сначала построим
графики функций y
= -
2 / 3
x
+ 2 и
y
= x2
-1
( рис.31 ):
Решением первого
неравенства является интервал
x
>
3,
обозначенный на рис.31 чёрной
стрелкой; решение второго неравенства состоит из двух интервалов:
x
< -1
и x
> 1, обозначенных на рис.31 серыми стрелками.
Из графика видно,
что
пересечением этих двух решений
является интервал x
> 3. Это и есть решение заданной системы неравенств.
Чтобы
решить
графически
систему
двух
неравенств
сдвумя
неизвестными,
надо:
1)
в каждом из них
перенести все члены в одну часть, т.e.
привести
неравенства
к виду:
2) построить графики функций,
заданных неявно: f
(
x,
y
) = 0 и
g
(
x,
y
) = 0;
3) каждый их этих графиков делит
координатную плоскость на две части:
в одной из них неравенство
справедливо, в другой – нет;
чтобы решить
графически
каждое из этих неравенств, достаточно проверить
справедливость
неравенства в одной произвольной точке внутри любой
части плоскости;
если неравенство имеет место в этой точке,
значит
эта часть координатной плоскости является его решением, если нет – то
решением является
противоположная часть плоскости;
4)
решением заданной системы неравенств является пересечение
(общая область) частей координатной
плоскости.
П р и м
е р . Решить систему неравенств:
Р е ш е н и е . Сначала строим
графики линейных функций: 5x
– 7y
= -11
и
2x
+ 3y
= 10 (
рис.32 ).
Для каждой из них находим полуплоскость,
внутри которой
соответствующее заданное неравенство
справедливо. Мы знаем, что достаточно проверить
справедливость
неравенства в
одной произвольной точке области; в данном
случае
легче
всего
использовать
для этого начало
координат O
(
0,
0
).
Подставляя его
координаты в наши неравенства
вместо x
и
y,
получим: 5 · 0 – 7 · 0 = 0 >
-11,
следовательно, нижняя
полуплоскость (
жёлтого цвета
)
является решением первого
неравенства;
2 · 0 + 3 · 0 = 0 < 10, поэтому второе неравенство
имеет своим
решением также нижнюю полуплоскость (
голубого
цвета
). Пересечение этих
полуплоскостей (
область цвета бирюзы
)
является решением
нашей
системы неравенств.
Источник: http://www.bymath.net | 