Степенная функция. Это функция:  y = axⁿ, где  a , n – постоянные. При  n = 1 получаем прямую пропорциональность:  y = ax; при  n = 2 - квадратную параболу; при  n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при  n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину:  y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси  Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения  x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе  y = x ², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция ( об этом говорит и знак  ±  перед квадратным корнем ). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей:  верхнюю или нижнюю.

Показательная функция. Функция   y = a^x, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция  y = 81^x имеет при  x = 1/4 четыре различных значения:  y = 3,  y = -3,  y = 3 i  и  y = -3 i (проверьте, пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только  y = 3. Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При  a > 0 показательная функция возрастает, a при  a < 0 – убывает.

- область определения функции: - < x < +  ( т.e. x R );

   область значений:  y > 0 ;

   - функция монотонна: возрастает при  a > 0 и убывает при  a < 0;

   - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

   - нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция. Функция  y = log _a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. 

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0, а область значений: - < y < +  

   ( т.e.  y R );

    - это монотонная функция: она возрастает при  a > 0 и убывает при  a < 0;

    - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

    - у функции есть один ноль:  x = 1.