Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция.

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция. Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция. Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:              y  = k x ,                                                   где  k  - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tan = k  ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = -3 .
2.	Линейная функция. Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,                            где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,                                                   где  k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна  k, что следует из уравнения гиперболы:  xy = k. Основные характеристики и свойства гиперболы:         - область определения функции:  x 0,  область значений:  y 0 ;   - функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не   монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ( подумайте, почему ? );   - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;   - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция:  y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c - постоянные,  a 0. В простейшем случае имеем:  b = c = 0  и   y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы. График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D: D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая  a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

  - область определения функции: - < x < +  ( т.e.  x R ), а область

     значений: … ( ответьте, пожалуйста , на этот вопрос сами ! );

  - функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

     ведёт себя, как монотонная;

  - функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при  b = c = 0,

   и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. ( А что при  D 0 ? ) .