Чётная и
нечётная функции.
Если для
любого x
из
области определения
функции
имеет место:
f
(
-
x
) = f
( x
), то функция называется чётной;
если же
имеет место: f
(
-
x
) =
-
f
(
x
), то
функция называется нечётной. График чётной функции
симетричен относительно оси
Y
( рис.5 ), a
график нечётной функции симметричен
относительно начала координат (
рис.6 ).
Периодическая
функция.
Функция
f
(
x
)
-
периодическая,
если
существует такое отличное от нуля число
T
, что для любого
x
из
области определения функции
имеет место: f
( x + T ) = f ( x ).
Такое
наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические
функции являются периодическими.
П р и м е р
1 . Доказать, что
sin
x
имеет период 2
.
Р е ш е н и е .
Мы знаем, что
sin (
x+
2n
) =
sin
x,
где n
= 0, ±
1, ±
2, …
Следовательно, добавление 2n
к
аргументу синуса не
меняет его значениe.
Существует ли другое число
с
таким
же свойством ?
Предположим, что
P
– такое число, т.e.
равенство:
sin
( x+
P
) =
sin
x,
справедливо для любого
значения x.
Но тогда
оно имеет
место
и при x
=
/ 2 , т.e.
sin
(
/ 2 + P
) =
sin
/ 2 = 1.
Но
по
формуле
приведения sin
(
/ 2 + P
) =
cos P.
Тогда
из
двух последних равенств следует, что
cos P
= 1, но мы
знаем,
что это верно лишь при P
= 2n.
Так как наименьшим
отличным
от
нуля числом из
2n
является
2,
то это число
и есть
период sin x.
Аналогично доказывается, что
2
является
периодом и для
cos x
.
Докажите,
что функции tan x
и cot x
имеют период
.
П р и м е р 2. Какое число
является периодом функции sin
2x
?
Р е ш е н и е . Рассмотрим
sin 2x = sin ( 2x +
2n
) = sin [ 2 ( x +
n
) ] .
Мы видим,
что
добавление
n
к аргументу
x,
не меняет
значение
функции. Наименьшее отличное от нуля число
из
n
есть
,
таким
образом, это период
sin
2x
.
Нули функции.
Значение аргумента, при котором
функция равна 0, называется нулём (
корнем
) функции.
Функция может иметь несколько нулей. Например, функция
y =
x
(
x
+ 1
)
(
x-3
) имеет три нуля:
x = 0,
x
=
-1,
x
=
3. Геометрически нуль функции –
это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .
На рис.7 представлен график функции с
нулями: x
= a,
x
= b
и x
=
c .
Асимптота.
Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём
удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.
Источник: http://www.bymath.net |