|
Вписанные и описанные многоугольники. Правильные
многоугольники
Вписанный в круг
многоугольник.
Описанный
около круга
многоугольник.
Описанный около многоугольника
круг.
Вписанный в
многоугольник круг.
Радиус вписанного в треугольник круга.
Радиус описанного около треугольника круга.
Правильный многоугольник.
Центр
и апофема правильного многоугольника.
Соотношения сторон и радиусов правильных многоугольников.
Вписанным
в круг
называется многоугольник,
вершины
которого расположены на окружности
( рис.54 ). Описанным около круга называется
многоугольник, стороны которого являются
касательными к окружности
( рис.55 ).
Соответственно, окружность, проходящая через вершины
многоугольника (
рис.54
), называется описанной около многоугольника;
окружность, для которой стороны многоугольника
являются касательными ( рис.55
), называется вписанной в
многоугольник. Для произвольного
многоугольника невозможно вписать в него
и
описать около него окружность. Для треугольника
это всегда возможно.
Радиус
r
вписанного круга
выражается через стороны a,
b,
c
треугольника:
Радиус
R
описанного
круга выражается формулой:
В четырёхугольник можно вписать окружность, если суммы его
противоположных сторон равны. Для параллелограммов
это возможно только для ромба (
квадрата
).
Центр
вписанного
круга расположен в
точке пересечения диагоналей. Около четырёхугольника
можно описать круг, если сумма его противоположных
углов равна 180º. Для параллелограммов это возможно
только для прямоугольника (
квадрата
). Центр описанного круга лежит в точке пересечения
диагоналей.
Вокруг трапеции можно описать круг,
если только она
равнобочная.
Правильный многоугольник –
это многоугольник с равными сторонами и углами.
На рис.56 показан правильный шестиугольник, а на рис.57 –
правильный восьмиугольник. Правильный четырёхугольник – это квадрат; правильный
треугольник – равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника
равен 180º ( n – 2 ) / n
, где n – число его углов.
Внутри правильного многоугольника существует точка O (
рис. 56 ), равноудалённая от всех его вершин ( OA =
OB = OC = … = OF
), которая называется центром правильного
многоугольника. Центр правильного
многоугольника также равноудалён от всех его сторон ( OP
= OQ = OR = … ). Отрезки OP,
OQ, OR, … называются апофемами;
отрезки OA, OB, OC,
…– радиусы правильного многоугольника.
В правильный многоугольник можно вписать окружность и
около него можно описать окружность. Центры вписанной и описанной окружностей
совпадают с центром правильного многоугольника. Радиус
описанного круга
-
это
радиус правильного
многоугольника,
a радиус вписанного круга - его апофема. Соотношения
сторон и радиусов правильных многоугольников:
Для большинства правильных многоугольников невозможно выразить
посредством алгебраической формулы соотношение между их сторонами и радиусами.
П р и м е р . Можно ли вырезать квадрат со стороной 30 см из
круга
диаметром 40 см?
Р е ш е н и е . Наибольший квадрат, заключённый в круг, есть
вписанный
квадрат. В соответствии с
вышеприведенной формулой его
сторона равна:
Следовательно,
квадрат со стороной 30 см невозможно вырезать
из круга
диаметром 40 см.
Источник: http://www.bymath.net | 