Бином
Ньютона. Это
формула, представляющая выражение (
a
+ b
)
n
при положительном целом n
в виде многочлена:
Заметим,
что сумма показателей степеней для a
и
b
постоянна и равна
n.
П р и м е р 1 .
( См. формулу суммы
кубов двух чисел ).
Числа называются
биномиальными коэффициентами.
Их можно вычислить, применяя только
сложение, если пользоваться следующей схемой. В верхней строке пишем две
единицы. Все последующие строки начинаются и заканчиваются единицей.
Промежуточные числа в этих строках получаются суммированием соседних чисел из
предыдущей
строки.
Эта схема называется треугольником Паскаля:
Первая строка в этой таблице содержит
биномиальные коэффициенты для n
= 1; вторая - для n
= 2; третья - для n
= 3 и т.д. Поэтому, если необходимо, например, разложить выражение:
(
a
+ b
)7 ,
мы
можем получить результат моментально, используя таблицу:
Свойства биномиальных
коэффициентов.
1.
Сумма коэффициентов разложения (
a
+ b
)
n
равна 2
n
.
Для доказательства достаточно
положить a
= b
= 1. Тогда в правой части
разложения бинома Ньютона мы будем иметь сумму биномиальных коэффициентов,
а слева:
2.
Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны.
Это
свойство следует из соотношения:
3.
Сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов
нечётных членов разложения; каждая из них равна
Для
доказательства воспользуемся биномом:
Здесь чётные члены имеют знак « + » ,
а нечётные - « -
». Так как в результате разложения получается 0, то следовательно, суммы их
биномиальных коэффициентов
равны
между собой, поэтому каждая из них равна:
что и
требовалось доказать.
Источник: http://www.bymath.net |