Доказательство и
решение неравенств
Методы доказательства неравенств.
Решение неравенств. Равносильные
неравенства.
Метод
интервалов. Системы неравенств.
Доказательство неравенств.
Существует несколько
методов доказательства
неравенств. Мы рассмотрим их на примере неравенства:
где
a
–
положительное число.
1).
Использование известного или ранее доказанного неравенства.
Известно, что
( a – 1 )²
0 .
2).
Оценка знака разности между частями неравенства.
Рассмотрим разность между левой и правой частью:
более
того, равенство имеет место только при
a
=
1 .
3).
Доказательство от противного.
Предположим противное:
Умножая обе части неравенства на
a
, получим: a
2
+ 1 < 2a,
т.e.
a
2
+ 1 – 2a
< 0 , или ( a
– 1 )
2
< 0, что неверно. (
Почему ? ) .
Полученное противоречие
доказывает справедливость
рассматриваемого неравенства.
4). Метод
неопределённого неравенства.
Неравенство называется
неопределённым, если у него знак \/
или /\ ,
т.е. когда мы не знаем в какую сторону
следует повернуть этот знак,
чтобы получить справедливое
неравенство.
Здесь действуют те же правила, что
и с обычными неравенствами.
Рассмотрим неопределённое неравенство:
Умножая обе части неравенства на
a
, получим: a
2
+ 1 \/ 2a,
т.e.
а
2
+ 1 – 2a
\/ 0 , или ( a
– 1 )
2
\/ 0 , но
здесь мы уже знаем, как повернуть
знак \/ , чтобы получить
верное неравенство ( Как? ). Поворачивая его
в нужном направлении по
всей цепочке неравенств снизу вверх, мы получим требуемое неравенство.
Решение неравенств.
Два неравенства, содержащие одни и
те же неизвестные, называются равносильными, если они
справедливы при одних и тех же значениях этих неизвестных. Такое же
определение используется для равносильности двух систем неравенств. Решение
неравенств - это процесс перехода от одного неравенства к другому, равносильному
неравенству. Для этого используются основные свойства неравенств (см.
параграф "Неравенства: общие сведения”). Кроме того, может быть использована
замена любого выражения другим, тождественным данному. Неравенства могут быть
алгебраические (
содержащие
только многочлены
) и трансцендентные (
например, логарифмические или
тригонометрические
). Мы рассмотрим здесь один очень важный метод,
используемый часто при решении алгебраических неравенств.
Источник: http://www.bymath.net |