Основы векторного исчисления - Алгебра - Математика - Каталог статей - Сайт для школьников. Рефераты и учебные материалы.
Среда, 07.12.2016, 13:34
Приветствую Вас Гость | RSS

Школьник

Меню сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Анализ страниц сайта

Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Алгебра

Основы векторного исчисления

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы  i,  j и k,  связанные с координатными осями:  i – с осью Х,   j – с осью Y и  k – с осью Z. В соответствии с этим определением:

 

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0, 

 

| i | = | j | = | k | = 1.

 

Любой вектор  a  может быть выражен через эти векторы единственным образом:  a x i + y j + z k . Другая форма записи:  a = ( x, y, z ). Здесь x,  y,  z - координаты вектора  a  в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов   ij , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть  a = ( x, y, z );  b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) =  xu + yv + zw.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Длина (модуль) вектора  a = ( x,  y,  z ) равна:


 

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a  b =  ( x u , y  v , z   w ) .

Векторное произведение векторов. Векторным произведением [a,

b] векторов  a и b ( в указанном порядке )  называется вектор:


Существует другая формула длины вектора [ a, b ] :

 

                                                         /\

| [ a, b ] | = | a | | b |  sin ( a, b ) ,

 

т.e. длина ( модуль )  векторного произведения векторов  a  и  b  равна произведению длин ( модулей ) этих векторов на синус угла между ними. Иначе говоря: длина ( модуль ) вектора [ a, b ] численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах  a и b .

 

Свойства векторного произведения.

 I. Вектор [ a, b ] перпендикулярен (ортогонален) обоим векторам  a и b

    ( Докажите это, пожалуйста ! ) . 

II.  [ a , b ] = [ b , a ] .      

III. [ m a , b ] = m [ a , b ] .

IV. [ a + b , c ] =  [ a , c ] + [ b , c ] .      

V.  [ a , [ b , c ] ] = b ( a , c ) – c ( a , b ) .  

VI. [ [ a , b ] , c ] = b ( a , c ) – ( b , c ) .

 

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов

 a = ( x, y, z )  и  b = ( u, v, w ) :

  

Необходимое и достаточное условие компланарности векторов  a = ( x, y, z ),  b = ( u, v, w и  c = ( p, q, r ) :  


П р и м е р .   Даны векторы:  a = ( 1, 2, 3 ) и  b = ( – 2 , 0 ,4 ).

                       Вычислить их скалярное и векторное произведения и угол

                       между этими векторами.

 

Р е ш е н и е . Используя соответствующие формулы (см. выше), получим:

                      a). скалярное произведение:

                   

                                  ( a , b ) = 1 · ( – 2 ) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

                                    б). векторное произведение:             

                                 

           



Источник: http://www.bymath.net
Категория: Алгебра | Добавил: Kisa (05.03.2009)
Просмотров: 1058 | Рейтинг: 1.0/1
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа
Поиск
Облако тэгов

Copyright MyCorp © 2016
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz