Основы векторного исчисления
Вектор. Нулевой вектор.
Длина (модуль) вектора.
Коллинеарные векторы.
Компланарные векторы.
Равенство векторов.
Сложение и вычитание векторов.
Законы сложения. Законы
умножения вектора на число.
Скалярное произведение
векторов и его свойства.
Единичные ортогональные
векторы.
Векторное произведение
векторов и его свойства.
Необходимое и достаточное
условие коллинеарности векторов.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов.
Вектор –
это направленный
отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.
Векторы
обычно
обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и
конечной точками. Сверху обычно ставят чёрточку.
Например, вектор, направленный
из точки A
к точке B,
можно обозначить a,
__
Нулевой вектор
0
или
0 - это вектор,
у которого начальная и конечная точки совпадают, т.e.
A
=
B.
Отсюда, 0 = – 0.
Длина (модуль) вектора
a
- это длина отображающего его отрезка
AB,
обозначается | a
|. В частности, | 0
| = 0.
Векторы называются коллинеарными,
если их направленные отрезки лежат на параллельных прямых. Коллинеарные векторы
a
и
b
обозначаются
a
||
b.
Три и более векторов называются
компланарными, если они лежат в одной
плоскости.
Сложение векторов.
Так как
векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть
выполнено геометрически. (Алгебраическое сложение
векторов изложено
ниже, в пункте «Единичные ортогональные векторы»).
Предположим,
что
__ __
a
= AB and
b
= CD ,
тогда вектор
__ __
a
+ b
= AB + CD
есть результат выполнения двух
операций:
a)
параллельного переноса одногоиз векторов таким образом, чтобы его начальная
точка совпала с конечной точкой второго вектора;
б) геометрического сложения,
т.е. построения результирующего вектора, идущего от начальной точки
неподвижного вектора к конечной точке
перенесённого вектора.
Вычитание векторов.
Эта
операция сводится к предыдущей путём замены вычитаемого вектора на
противоположный: a
–
b
=
a
+
( –
b
) .
Законы сложения.
I.
a
+
b
=
b
+ a
( П е р е м е с т и т е
л ь н ы й закон ).
II.
( a
+
b
) +
c
= a
+ (
b
+ c
) ( С о ч е т а т е л ь н ы й закон
).
III.
a
+ 0
= a
.
IV.
a
+ (–
a
) =
0
.
Законы умножения вектора на
число.
I. 1
·
a
= a
,
0
·
a
= 0 , m
·
0
= 0
, ( –1 )
·
a
= –
a
.
II. m
a =
a
m , | m
a
| = | m |
·
| a |
.
III.
m
( n
a
) = (
m n
) a
.
( С о ч е т а т е л ь н ы й
закон умножения на число ).
IV.
(
m
+ n
) a
=
m
a
+ n
a
,
( Р а с п р е д е л и т
е л ь н ы й
m
(
a
+ b
)
=
m
a
+ m
b
.
закон
умножения на число ).
Скалярное
произведение векторов. __
__
Угол между ненулевыми векторами
AB
и CD
– это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения
точек A
и C.
Скалярным произведением векторов
a
и
b
называется число, равное
произведению их длин на косинус угла между ними:
Если один из векторов
нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением
равно нулю:
( a
, 0
) = (
0 ,
b ) = 0 .
Если оба вектора ненулевые, то косинус
угла между ними вычисляется
по
формуле:
Скалярное произведение
(
a
, a
), равное |
a
|
2,
называется скалярным квадратом. Длина вектора
a
и его скалярный квадрат связаны соотношением:
Скалярное произведение
двух векторов:
- положительно, если угол
между векторами острый ;
- отрицательно, если угол
между векторами тупой .
Скалярное произведение двух
ненулевых векторов равно нулю тогда
и
только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы
перпендикулярны (ортогональны):
Свойства скалярного
произведения. Для любых
векторов a
,
b
, c
и любого числа
m
справедливы следующие соотношения:
I.
( a
,
b
) = (
b
, a
) . ( П е р е м е с т
и т е л ь н ы й закон )
II.
( m
a
,
b
) =
m
(
a
,
b
) .
III.
(
a
+ b
, c
) = (
a
,
c
) + (
b
,
c
).
( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )
Источник: http://www.bymath.net |