Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными - Алгебра - Математика - Каталог статей - Сайт для школьников. Рефераты и учебные материалы.
Воскресенье, 11.12.2016, 05:06
Приветствую Вас Гость | RSS

Школьник

Меню сайта
Статистика

Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Анализ страниц сайта

Каталог статей

Главная » Статьи » Математика » Алгебра

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Основные  методы решения: подстановка, сложение или вычитание.

Определители второго порядка. Правило Крамера.

Исследование решений системы уравнений.

 

 

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид: 

 

 

где  a,  b,  c,  d,  e,  f – заданные числа;  x,  y – неизвестные. Числа   a,  b,  d,  e  коэффициенты при неизвестных; c, f свободные члены. Решение этой системы уравнений может быть найдено двумя основными  методами.

Метод подстановки. 

1)  Из одного уравнения выражаем одно из неизвестных, например  x, через коэффициенты и другое неизвестное  y:

                                                 x = ( c – by ) / a .                             (2)

2)  Подставляем во второе уравнение вместо x :

                                           d ( c by ) / a + ey = f .

3)  Решая последнее уравнение, находим  y :

                                                  y = ( af – cd ) / ( ae – bd ).

4)  Подставляем это значение вместо y  в выражение (2) :

                                                 x = ( ce bf ) / ( ae bd ) .

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                                  

                      Из первого уравнения выразим  х  через коэффициенты и  y :

 

                                                            x = ( 2y + 4 ) / 3 .

 

                      Подставляем это выражение во второе уравнение и находим  y :

 

                                                       ( 2y + 4 ) / 3 + 3y = 5 ,  откуда   y = 1 .

                                

                      Теперь находим  х, подставляя найденное значение вместо  в

                      выражение для  х x = ( 2 · 1 + 4 ) / 3, откуда   x = 2 .

 

 Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем.            

1)  Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на  (– d ), а обе части 2-го уравнения на  а  и складываем их:

                                         

    Отсюда получаем: y = ( afcd ) / ( aebd ).  

2)  Подставляем найденное для  y  значение в любое уравнение системы (1):  

                                 ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c.

3)  Находим другое неизвестное:   x = ( cebf ) / ( aebd ).

 

 

П р и м е р .  Решить систему уравнений:

                                           

                      методом сложения или вычитания.            

                      Умножаем первое уравнение на  –1, второе – на 3 и складываем их:

                                              

                      отсюда  y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение

                      (а в первое можно?):  3x + 9 = 15, отсюда  x = 2.

 

Определители второго порядка. Мы видели, что формулы для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеют вид:

 

                                                          x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ) ,

                                                                                                                       (3)                    

                                                          y = ( af – cd ) / ( ae – bd ) .

         

Эти формулы легко запоминаются, если ввести для их числителей и знаменателей следующий символ:

             ,  который будет обозначать выражение:  psqr

Это выражение получается перекрёстным умножением чисел  p, q, r, s :

и последующим вычитанием одного произведения из другого: psqr. Знак « + » берётся для произведения чисел, лежащих на диагонали, идущей из левого верхнего числа к правому нижнему; знак  « – » - для другой диагонали, идущей из правого верхнего числа к левому нижнему. Например,

                                                      
Выражение      называется определителем второго порядка.


Источник: http://www.bymath.net
Категория: Алгебра | Добавил: Kisa (04.03.2009)
Просмотров: 3133 | Рейтинг: 5.0/2
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Форма входа
Поиск
Облако тэгов

Copyright MyCorp © 2016
Бесплатный конструктор сайтов - uCoz